課程目標：

• 波爾的氫原子模型 / Bohr model of the hydrogen atom
• 光譜儀原理 / the working principle of a Spectrometer
• 波長測量 / wavelength measurement

實驗目的：

本實驗中將實際進行光譜量測。除了接觸光譜測量所需之光學系統與技巧之外，並由實驗數據推算普朗克常數的過程，加強對於Bohr的氫原子模型的了解。

原理：

本實驗是利用｢光譜儀｣觀察原子光譜。實驗中所觀察的光譜，是由氫氣放電管所輻射出來在可見光範圍的｢巴爾麥系列｣（Balmer series）譜線。利用所觀測的光譜線波長，可以推算｢蒲朗克常數｣（Plank's constant） h的值。

A. 氫原子模型

波爾(Bohr)在1913年提出一個理論模型，來解釋氫原子內部的結構。他的主要假設是：

1. 原子中的電子在庫倫力下，以圓形軌道圍繞原子核運動。

2. 電子運動的軌道周長，因需符合駐波的條件而被量子化。其相關的角動量 L 等於 。

3. 如果電子由一個能量較高的軌道（能量為 E_i）跳至能量較低的軌道（能量為 E_f），會以電磁波的方式釋放出能量。其頻率為。

根據Bohr的模型，電子環繞原子核的向心力即為彼此之間的庫倫力。所以

m為電子質量，v為電子的運動速度，r為軌道半徑。而電子的角動量L為 ，而且角動量需符合駐波的條件，所以。根據以上的想法，而電子在的第n層軌道的總能量En，可以用電子的動能與位能的關係來表示為

結合(1)式與角動量的結論化簡之後，總能量E_n又可改寫為

(3)式即為氫原子內的電子能階。當n = 1時，E1稱之為基態能量(ground state energy)。而當 時 ，此時代表電子已經脫離氫原子核的範圍，或稱之為游離狀態。如果電子由之能階躍遷進入氫原子內n = 1的電子能階，則會釋放出的能量為

約相當於波長 91 nm的紫外光能量。

 

本實驗將觀察氫原子光譜中的｢巴曼系列｣(Balmer Series)。此系列為電子由n > 2的能階躍遷至n = 2的能階時，所輻射出的電磁波。其波長涵蓋可見光的範圍，用肉眼即可觀測。此系列的譜線波長，如表一所示。譜線波長的關係為

　

表一、氫原子光譜的｢巴曼系列｣(Balmer Series)波長表。 

Transition of n	3→2	4→2	5→2	6→2	7→2	8→2	9→2
Name	H-α	H-β	H-γ	H-δ	H-ε	H-ζ	H-η
Wavelength (nm)	656.3	486.1	434.1	410.2	397.0	388.9	383.5

　

B. 光譜儀

（部分內容摘譯自PASCO: “Instruction Manual and Experiment Guide for the PASCO scientific Model SP-9268A - STUDENT SPECTROMETER”）

 

光譜儀可以將各色光分開的原因，是利用｢光柵｣（grating）或是｢稜鏡｣（prism）的色散特性，將光束中各個不同波長的光偏折到不同的角度上。

 

本實驗所使用的光譜儀，其光路簡圖如圖一所示。將送入光譜儀進行測量的光束，由光源（light source）出發，經過｢準直器｣（collimator）後成為一平行光束（parallel beam）。此平行光束會以較小的發散角前進，使光束的強度比較不會因為行進距離而衰減。當此光束照射到光柵（或稜鏡）之類的｢色散元件｣（dispersion element）之後，光束將依波長的差異而被偏折到特定角度。

 

在色散元件之後，有一個望遠鏡（telescope）可以收斂原來經過準直的平行光束。而準直器前方的｢狹縫｣（collimator slit），會被觀察者的眼睛成像在視網膜之上。當要進行光束波長的測量時，則需要轉動望遠鏡的角度位置，使望遠鏡對準狹縫。然後利用光譜儀的角度位置，再進一步推算所對應之波長。望遠鏡是否已經對準，可以利用視窗內垂直方向的黑色細線(vertical cross hair)來做為依據。

圖一   光譜儀的光路圖

光譜儀的照片如圖二所示。光束在進入光譜儀時，首先需要通過｢狹縫｣（collimator slit）。此狹縫的位置在Slit plate的中央，其方向應該為上下的方向。此狹縫的寬度可以利用｢Slit width adjust screw｣來調整。原則上，狹縫寬度越細小，波長測量的精準度會比較高，可是通過的光強度會比較弱，較不好觀測。因為本實驗所使用的光源是一個細長狀的發光體，建議一開始的時候，可以嘗試移動整個光譜儀，直到進入的光束最亮最多的位置，再進行後續的調整。

 

光束在通過 collimator 之後，將照射到色散元件—光柵。光柵擺設的位置，以光柵可以容納全部的光束截面為原則。光柵平面的角度，必須垂直光束的行進方向。光柵下方的｢Spectrometer table｣有三個旋鈕可以調整光柵的傾斜角度。光柵如果有傾斜的情形，可能會使後方的繞射無法維持水平，使 telescope 的對準動作產生困擾。Spectrometer talbe的高度，也可以下方支撐桿的伸長程度進行調整。

 

當光束通過色散元件之後，隨即進入｢Telescope｣。建議在光譜儀架設初期，先將｢Eyepiece｣內的黑色細線對準光束沒有被光柵偏折的透射部分。此部分即所謂之｢中央亮帶｣，或｢第零階繞射的光點｣。此時，｢游標尺｣(Vernier scale)上的角度讀數，將為之後實驗的角度位置原點。黑色細線(vertical cross hair)如果有傾斜，可嘗試旋轉｢Eyepiece｣的角度進行修正。如果狹縫的影像不夠清楚，可以利用Collimator或Telescope上的Focus knob進行焦距的調整。

圖二   光譜儀

光譜儀上的角度游標尺，其精度為｢1 minute of arc｣( or 1/60 degree)。例如圖三的讀數為155°15’或是155 + 15 ´ 1/60 度。

圖三   角度游標尺的刻度

如果光譜儀所測量到某個單色光束的角度為q，而所使用的光柵上的線條間隔為a，則該光束的波長為。m為繞射階數。若光柵為300 lines/mm，則

。

 

建議在zero diffraction的位置兩側，都要進行繞射角度的測量。其角度位置應該是一樣的，可以利用此結果確認實驗設備的功能是否正常。

　

實驗項目：

A. 架設光譜儀與氫氣放電燈

B. 光譜測量

1. 將 telescope 往某一側移動，並尋找所有出現的光譜線。

2. 以 telescope 內黑色的 cross hair line 對準其中某一譜線之後，紀錄｢角度｣、｢繞射階數 m｣。請儘量觀察到 m 最高的階數。

   　

   繞射階數 m 的數值，是依照多狹縫繞射的原則來判讀的。
   角度原點是對準所謂光柵繞射的｢中央亮帶｣，這個時候的 m = 0，或可形容為此色光的｢第零階繞射｣。
   當 telescope 的角度位置，由原點持續增加至某個色光譜線出現第一次時，則此時為此色光的 m = 1，或可形容為此色光的｢第一階繞射｣。

   如果再持續往更大的角度移動，則這個色光的譜線還會再度出現，不過可能會比較暗一些。出現第二次時，則m = 2，或可形容為此色光的｢第二階繞射｣。以此類推更高的繞射階數。

   在角度原點的兩側，通常 m 的數值是以正、負號來進行區分。為了方便，通常考慮在遵守光柵分光的關係式的規則下，維持l 是大於零的數值，再來決定不同側的角度所關聯的 m 值正、負號。

   　

3. 進行某一個角度的測量時，請重複三至五次，以取得平均值與誤差。

4. 請記錄觀察到的譜線，所有相關之任何特徵。如顏色、亮度等等。

5. Slit 的寬度可以在正式進行測量之前進行修正。較細的 slit，較容易以 vertical cross hair 對準，測量的精準度會比較好。但其缺點是可通過的光會比較少，亮度不夠的時候也不利於觀測。

6. 將 telescope 移往另一側，並重複上述步驟。

7. 計算各譜線所對應之波長。

C. 蒲朗克常數的計算

本實驗在氫原子光譜中所測量到譜線波長，應該是非常接近 Bohr 對氫原子模型的假設。

1. 請利用您對 Balmer Series 所測量的譜線波長，推算電子是由哪個軌域 n 躍遷至 n = 2 的軌域。

2. 利用前一項步驟的結果，以為橫軸、以為縱軸作圖，由curve fitting的結果推算 plank constant h。

(已知下列參數： ; ; )

D. 其他光源的光譜觀測 

1. 將手電筒或是手機等發光體，放置在光譜儀的 slit 前方，並觀察其光譜。

2. 發光體也可以是電腦螢幕。建議各位可以利用power point，製作幾頁分別為紅色、藍色、綠色等底色的頁面，然後將其依序自動撥放。再利用光譜儀觀測光譜的變化。

3. 觀察其光譜是否為｢連續光譜｣，或是如氫原子光譜一樣的｢線光譜｣。

參考資料：

• 教學影片 YouTube
• Concepts and History history